Desi Liana's Blog: Turunan Suatu Fungsi

Turunan suatu fungsi

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan^.Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit.

Definisi

Aturan dasar :

1. Jika f(x), maka f'(x) = 0

2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

3. Aturan pangkat

Jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}

4. Aturan kelipatan konstanta

(kf) (x) = k. f’(x)

5. Aturan rantai

$Description: (f \circ g)' = (f' \circ g)g'$

6. Aturan pangkat umum

$Description: (f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)$

7. Aturan timbal balik

$Description: \left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0$

8. Aturan jumlah

$Description: \left({f + g}\right)' = f' + g'$

9. Aturan selisih

( f – g )’ (x) = f’ (x) - g’ (x)

10. Aturan hasil kali

$Description: \left({fg}\right)' = f'g + fg'$

11. Aturan hasil bagi

$Description: \left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0$

12. Aturan fungsi invers

$Description: (f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}$

Turunan fungsi trigonometri

$Description: (\sin x)' = \cos x \,$	$Description: (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$Description: (\cos x)' = -\sin x \,$	$Description: (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$Description: (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} \,$	$Description: (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,$
$Description: (\sec x)' = \sec x \tan x \,$	$Description: (\arcsec x)' = { 1 \over \|x\|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$Description: (\csc x)' = -\csc x \cot x \,$	$Description: (\arccsc x)' = {-1 \over \|x\|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$Description: (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} \,$	$Description: (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,$

Turunan fungsi logaritma

Description: http://learnwithalice.files.wordpress.com/2012/03/turunan_log1.jpg?w=640

Turunan fungsi implisit

Definisi: sebuah metode untuk mencari dy/dx tanpa terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang persamaan yang diberikan untuk y dalam bentuk x.

Contoh : x² + 2y –xy = 5

Cara penyelesaian secara implisit:

Description: http://learnwithalice.files.wordpress.com/2012/03/picture4.gif?w=640

Turunan fungsi eksponen

y = e^x ===> y = e^x

y = a^x ===> y = a^x ln a

Untuk membuktikannya maka kita tulis sebagai berikut :
f(x) = e^x
Jika kedua ruas kita beri ln maka
ln f(x) = ln e^x
ln f(x) = x
Sekarang kita turunkan sehingga
$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bf%28x%29%7D.f%27%28x%29=1$
f ‘(x) = f(x)
sehingga
y’ = y
atau
y = e^x
Untuk menentukan turunan y = a^x maka kita misalkan y = f(x) sehingga
f(x) = a^x
sekarang kedua ruas kita beri ln sehingga
ln f(x) = ln a^x
ln f(x) = x ln a
atau bisa kita tulis menjadi
ln f(x) = (ln a) x
Di sini ln a hanyalah konstanta sehingga jika kita turunkan menjadi :
$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bf%28x%29%7D.f%27%28x%29=%5Cln%20a$
f’(x) = f(x) ln a
y’ = a^x ln a

Turunan fungsi siklometri

Description: http://learnwithalice.files.wordpress.com/2012/03/turunan_siklometri.jpg?w=640

Turunan fungsi hiperbolik

$Description: ( \sinh x )'= \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$	$Description: (\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$
$Description: (\cosh x )'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$	$Description: (\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$
$Description: (\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x$	$Description: (\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}$
$Description: (\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x$	$Description: (\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$
$Description: (\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x$	$Description: (\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 + x^2}}$
$Description: (\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x$	$Description: (\operatorname{arccoth}\,x)' = { -1 \over x^2-1}$