Operasi Vektor

OPERASI VEKTOR

Pada gambar tersebut, vektor a, b, dan c dapat kita tulis sebagai berikut.

Sekarang, mari jumlahkan vektor a dan b. Karena vektor merupakan matriks kolom, maka kita dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks. Dengan aturan ini, akan diperoleh:

Uraian tersebut menunjukkan bahwa a + b = c. Secara geometris, penjumlahan antara vektor a dan b ini dapat kita lakukan dengan dua cara, yaitu:
a. Cara Segitiga
Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit luas dengan titik ujung vektor a. Jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini diwakili oleh vektor c. Sehingga, a + b = c.

b. Cara Jajargenjang

Misalkan, vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B dan vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik D. Dalam jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik pangkal vektor b, yaitu A = C.
Dengan membuat jajargenjang ABCD, akan diperoleh:

Sekarang, jika vektor a dijumlahkan dengan invers vektor b, maka kita akan mendapatkan penjumlahan vektor a + (-b) sebagai berikut:

Seperti pada bilangan real, kita dapat menuliskan a + (-b) = a - b. Secara geometris, kita dapat mengurangkan a dengan b sebagai berikut:

Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks kolom, kita dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor sebagai berikut:
sebagai berikut:



CONTOH 1

B2. Perkalian skalar dengan Vektor
Pada bagian sebelumnya, kita telah mempelajari penjumlahan vektor. Apa yang terjadi jika vektor-vektor yang dijumlahkan adalah k vektor yang sama? Dalam penjumlahan tersebut, kita akan mendapatkan sebuah vektor baru yang setiap komponen-komponennya diperoleh dengan mengalikan k dengan setiap komponen-komponen vektor u. Akibatnya, vektor baru tersebut segaris dengan vektor u dan memiliki panjang k|u|.

Dalam perkalian skalar dengan vektor ini, jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u. Adapun jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u. Gambar dibawah ini memperlihatkan perkalian skalar dengan vektor u.

CONTOH 2

CONTOH 3

B3. Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Vektor

Sifat-sifat yang terdapat dalam operasi hitung vektor adalah sebagai berikut:

Pada pembahasan kali ini, akan dibuktikan sifat 1, sifat 2, sifat 4, dan sifat 7.